Hace 10 años | Por equisdx a cifrasyteclas.com
Publicado hace 10 años por equisdx a cifrasyteclas.com

Seguro que has oído hablar de la "velocidad de paso por curva" de un coche o una moto, pero ¿te has preguntado alguna vez cómo se calcula? Seguro que también has estudiado matemáticas pero ¿sabrías explicar a tu cuñado qué es una integral? En esta entrada usarás datos reales de telemetría del Circuito de Mónaco para entender de forma sencilla que una integral no es más que una suma, con la que puedes medir la velocidad de paso por curva. Como bonus track, el mismísimo Pedro Martínez de la Rosa nos contará cómo la miden en la Fórmula 1.

Comentarios

noexisto

Petición para km77 en próximos artículos:
"¿cuál es la velocidad máxima por curva? (en caso de que haya una vaca en medio y tengas que frenar, idiota cuñao)"

#12 casi, casi para lo que se inventó la ENIAC, para calcular trayectorias de proyectiles http://es.wikipedia.org/wiki/ENIAC#Prestaciones

t

#12 Es que los ordenadores del programa Apolo tampoco daban como para muchos cálculos complejos. El que llevaba el Apolo XI tenía 1 MHz y 4 KB de RAM:

http://www.ceintec.com/articulos/el-asombroso-computador-del-apolo-xi-450.html

e

#12 Que los cuñados son siempre aparejadores, muy aficionados a la mayoración y las estimaciones, lo cual en un cálculo orbital lleva inevitablemente al desastre. lol

Cocoman

#12 "Si no me equivoco se usaron en el Apolo 13"

Y así les fue lol

RojoVelasco

#7 El concepto Cluster de cuñados merece una aproximación en formato prueba de concepto

e

#15 Asegúrate que no coman cacahuetes ni plátanos, no sea que tengan una crisis de identidad y acaben con el culo rojo y escribiendo Hamlet.

robustiano

#1 ¿Mi Su mesa cojea? roll

salva6

Nota para mi cuñado: una integral no es una baguette!!

i

#10 Eso mismo estaba pensando yo, en vez de medir la velocidad en cada punto y hacer la media de las velocidades mediante una integral, calculas la velocidad media a partir de distancia(entre los límites de integración)/tiempo.
El resultado debería ser el mismo, no?

woopi

Pues la suma total de los valores de la función en el intervalo [a,b] no dará el resultado previsto. Falta un "detalle" en la explicación que el cuñado te preguntará: ¿Para qué xxxxnes vale el dx? Cada uno de los valores se va sumando en la integral, pero multiplicándose por el dx, es decir la base de cada uno de los infinitos rectángulos. Sería la suma de los infinitos valores de la función entre a y b multiplicados por un valor diferencial de la abscisa los que sumados todos ¡serían el área debajo de la función!

woopi

#9 Mi comentario anterior viene a cuento por la explicación siguiente "De izquierda a derecha: Suma de velocidades en un punto, en dos puntos, en tres puntos y barriendo todo el intervalo. Esta última es la integral, que coincide con el área bajo la curva. Datos tomados de la telemetría en la curva del casino..."

¡¡¡ De 120+127+147 ... pasa al área que "coincide bajo la curva" !!!

I

#11 Yo también me he quedado un poco loco, pero pensándolo un poco, en realidad lo que hacen es una aproximación numérica de la integral por el método de los trapecios, y a efectos de comparación, y puesto que la base de los trapecios es la misma (el intervalo de tiempo), se saca factor común y se comparan sólo las sumas de las velocidades para un intervalo dado.

D

E integrando también se hallan volúmenes

ferreret

#3 Aún me dan escalofríos pensar cuando tenía que calcular el volumen acotado por 4 planos...

Tras 9 años fuera de la universidad tengo las integrales en el cajón de los recuerdos. Ni de coña podría resolver una a día de hoy (salvo que estudiase varios días antes).

D

#8 Yo esas cosas las resolvía poco a poco dividiendo las cuentas por partes, pero ni de coña me da tiempo para resolver el exámen actual, más que nada por la falta de práctica :S

silencer

Buen artículo.

De todas formas, el interés que tiene mi cuñado por saber qué es una integral, tiende a 0...

Maelstrom

Deformación profesional (matemáticas puras) me puede, pero con ánimo de ser rigurosos, el problema del que se trata aquí es un caso más 'denso' en realidad de Topología, en concreto de homotopía.

Estamos hablando, en realidad, de calcular el Máximo (en la práctica tomaríamos la velocidad del conductor que recorre la curva más rápidamente en el 'vértice' de la misma del que se habla en el artículo) de los mínimos de las velocidades de TODOS los diferentes caminos posibles entre un punto A y un punto B de un subespacio topológico en R^2 (muy idealmente) definido por algo parecido auna sección de una corona circular (la curva en sí). Todo en conjunto requiere de algo más complicado que el cálculo de una primitiva.

e

#25 Deformación, deformación. lol

En realidad no se trata de un problema de topología sino más bien, de economía. Conocer la respuesta con un margen de milímetros/segundo no te sirve de nada. Toda diferencia de tiempo en el paso por curva que esté por debajo de la milésima de segundo es irrelevante (incluso diría que por debajo de la centésima) en tanto en cuanto, al final de todo la información que se obtenga tiene que servir para que un piloto modifique ligeramente su modo de abordar la curva. Todo refinamiento que afine por encima de su capacidad para apreciar velocidad y trayectoria, si es a costa de una mayor complejidad en el cálculo es, por lo tanto, innecesario.

ordend

Está tardando en aparecer por aquí algún cuñado

D

#6 ¡Interesante! No lo sabía(o más bien no me acordaba).

ordend

#35 ¡Gracias! ^_^

D

Con el nivel de abstracción del cuñado, seguro será un buen topólogo.

D

Prefiero el pan normal.

j

POR FAVOR QUE ALGUIEN DIGA QUIEN ES MAS RAPIDO, EL ROJO O EL AZUL!!

D

Mi cuñado es profesor de matemáticas . No necesito explicárselo

sotanez

"una integral no es más que una suma" It's a trap!!!

D

Yo diría que el corazón de la explicación de la integral consiste simplemente en observar qué es o cómo funciona la integral para la figura geométrica que tiene la fórmula de área más simple posible, es decir, el rectángulo (si hablamos de 2 dimensiones), y entonces la explicación queda más o menos así:

1º) El área de un rectángulo es base por altura, es decir: área = base x altura . Por tanto, si dividimos el área por la base, entonces el resultado de esta división debe ser la altura, es decir: área / base = altura .

2º) Ahora, OLVIDAD POR COMPLETO TODO LO DICHO EN EL PUNTO 1º) COMO SI EN VEZ DE RECTÁNGULOS Y ÁREAS HUBIÉSEMOS ESTADO HABLANDO DE LA PRÓXIMA ENTREGA DE LA GUERRA DE LAS GALAXIAS. Vamos aquí, por un momento, a considerar una definición, la definición consistente en lo que habitualmente referimos como "inclinación" o "pendiente" de una línea recta (por ejemplo, una carretera recta que va ascendiendo gradualmente, como en la vuelta ciclista).

Imaginad una línea recta, que es perfectamente recta, pero que NO está en posición perfectamente horizontal, sino que está un poco inclinada hacia arriba, es decir, va ascendiendo a medida que la recorremos. ¿Cómo se define su "inclinación" o "pendiente"?

La inclinación o pendiente de una recta inclinada, se define como una división o cociente, que se construye de la siguiente forma: medimos cuánta altura ganamos en vertical (es decir, en la vertical perfecta), al recorrer la recta inclinada, si nuestro avance considerado en la dirección perfectamente horizontal (es decir, en la dirección del imaginario suelo perfectamente horizontal por debajo de la recta) ha sido de cierta medida o longitud dada, "hz"; entonces, averiguadas estas medidas, decimos que la línea recta inclinada considerada, nos hace ganar en vertical cierta altura "av" al avanzar en dirección perfectamente horizontal cierta distancia o longitud "hz"; y entonces hacemos la división "av"/"hz", cuyo resultado llamamos "inclinación" o "pendiente" de la línea recta.

El resultado de esa división es un número, una cantidad, que equivale a cuánta altura ganamos en la línea recta, por cada avance en horizontal que sea de longitud exacta 1 unidad de medida.

Por ejemplo, si todo lo estamos midiendo en metros, entonces el incremento de altura "av" es una cantidad de metros (por ejemplo, imaginad que "av" fueron 6 metros), y el avance en horizontal "hz" es también otra cantidad de metros (por ejemplo, imaginad que "hz" fueron 3 metros), y entonces la división "av"/"hz" produce como resultado un número, llamado "inclinación" o "pendiente", simbolicémoslo como "inp", que nos dice que cada 1 metro que avancemos en horizontal al movernos por la recta inclinada, subiremos "inp" metros en vertical (en nuestro ejemplo, tendríamos 6 metros/3 metros = 2 , que significa que si la recta nos hizo subir en vertical 6 metros por avanzar 3 metros en horizontal, entonces esta recta nos hará subir en vertical 2 metros por cada 1 metro que avancemos en la horizontal ).

En general, pues, podremos decir que la inclinación de una recta se calcula y define de acuerdo con la siguiente expresión: "subida / avance horizontal = inclinación"; donde "subida" se refiere a cuánta altura ganamos en la vertical perfecta, cuando recorremos la línea recta; "avance horizontal" se refiere mismamente a eso, al avance en horizontal que vaya asociado a nuestro desplazamiento a lo largo de la recta; e "inclinación" es el nombre dado al valor resultante de esa división, y significa cuánta altura ganamos al recorrer la recta, si nuestro avance en horizontal es exactamente de 1 unidad.

3º) A continuación hay que considerar una propiedad de la línea recta, que la línea recta cumple precisamente por ser recta y no curva: la línea recta tiene inclinación constante, es decir, su cociente "av"/"hz" siempre produce el mismo número como resultado. Esto significa que, si la línea de verdad es perfectamente recta, entonces lo que ganemos en altura por cada avance horizontal de valor 1 unidad de medida, será siempre lo mismo, no importa en qué lugar o punto de la recta hagamos la comprobación. Gracias a esto, la línea recta es tal que si duplicamos nuestro avance en horizontal, entonces también duplicamos nuestra subida en vertical; si triplicamos nuestro avance en horizontal, entonces también triplicamos nuestra subida en vertical; si multiplicamos nuestro avance en horizontal por 5'30, entonces también se multiplicará nuestra subida vertical por 5'30; y, en general, si nuestro avance en horizontal cambia en cierta proporción (no en cierta diferencia o resta; tenemos que considerar la proporción del cambio), entonces nuestra subida en vertical también cambiará en esa misma proporción. Tiene que ser así, para que al dividir la subida en vertical entre el avance en horizontal, obtengamos siempre el mismo número como inclinación. Si multiplicamos el numerador y el denominador de la división de la inclinación ambos por un mismo número o proporción, entonces el resultado seguirá siendo el mismo.

4º) Ahora por fin ya vamos a poder otra vez recordar y reconsiderar lo que dijimos en el número 1º), y lo vamos a reconsiderar conjuntamente con lo que se ha dicho en el número 2º) .

En el número 1º) considerábamos una fórmula, que es " área / base = altura ".

En el número 2º) hemos considerado otra fórmula, que es " subida / avance horizontal = inclinación ".

¡Qué casualidad, son dos divisiones! Pongámoslas las dos juntitas, una encima de la otra, para hacer comparaciones entre ellas:

subida / avance hor. = inclinación

área / base = altura

Obsérvese que, entre las dos fórmulas, estamos empleando en total seis términos o nombres o denominaciones, que son los siguientes: "subida", "avance hor." (avance horizontal), "inclinación", "área", "base" y "altura". Vamos a seguir refiriéndolos y usándolos justamente así, para seguir haciendo sencillas las cosas.

Cada una de estas dos fórmulas se refiere a dos figuras geométricas distintas: la fórmula de arriba, "subida/avance hor.=inclinación", se refiere a una recta inclinada-ascendente, de la que estamos considerando también su avance horizontal y su subida en vertical; esto hace o puede pensarse como un TRIÁNGULO RECTÁNGULO, cuya hipotenusa es la línea recta inclinada, cuya base coincide con el avance horizontal, y cuya altura coincide con la subida en vertical.

La otra fórmula, "área/base=altura", se refería a un RECTÁNGULO.

Pues bien, a continuación viene el "truco":

Vamos a igualar, es decir, vamos a hacer exactamente idénticos entre sí, el "avance hor." del triángulo rectángulo, y la "base" del rectángulo. Es decir, suponemos que dibujamos las dos figuras geométricas dándoles tamaños tales, que el "avance hor." del triángulo rectángulo tiene exactamente la misma longitud que la "base" del rectángulo. Dicho en lenguaje matemático, esto sería causar la igualación "avance hor."="base" .

Pero no nos vamos a quedar sólo en eso, vamos a causar otra igualación, causemos también la igualación "inclinación"="altura". Es decir, al dibujar ambas figuras geométricas, además de igualar sus bases ("avance hor."="base"), hagamos que la altura "altura" del rectángulo sea idénticamente coincidente en valor con la inclinación "inclinación" del triángulo rectángulo. Esto significa que la "altura" del rectángulo nos dice precisamente cuánta subida vertical ganaríamos al recorrer la línea recta-hipotenusa, si el avance horizontal fuese sólo de 1 unidad.

Una vez causadas esas dos igualaciones anteriore, entonces, indirectamente, estaremos causando también una igualación más, una tercera igualación, la que sería "subida" = "área" . Es decir, la "subida" del triángulo rectángulo será idéntica en valor numérico al "área" del rectángulo, aunque la primera será una línea recta vertical, mientras que la segunda será un área o valor de superficie bidimensional.

En definitiva: tenemos un triángulo rectángulo y un rectángulo, tales que sus bases son iguales, y la altura del triángulo es igual al área del rectángulo. En estas condiciones, entonces también debe ocurrir que la INCLINACIÓN de la recta hipotenusa es precisamente igual a la ALTURA del rectángulo.

O dicho con otras palabras, podemos enunciarlo así: siendo las bases iguales, si la altura del rectángulo nos dice la inclinación de la hipotenusa (del triángulo rectángulo), entonces la altura del triángulo rectángulo nos dice el área del rectángulo.

Que "la altura del rectángulo nos diga la inclinación de la hipotenusa" puede precisamente expresarse de modo técnico de otra forma: la altura del rectángulo nos dice la DERIVADA de la hipotenusa (del triángulo rectángulo). Porque, terminológicamente, "derivada"="inclinación".

Y que "la altura del triángulo rectángulo nos diga el área del rectángulo" también se puede expresar de otra forma: la altura del triángulo rectángulo nos dice la INTEGRAL del rectángulo. Porque, terminológicamente, "integral"="área".

Así que ahora podemos decir lo siguiente: siendo las bases iguales, si la altura de un rectángulo nos dice la DERIVADA de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces la altura de dicho triángulo rectángulo nos dice la INTEGRAL del rectángulo.

Es decir, si la ALTURA de una figura nos dice la derivada de la otra figura, entonces la ALTURA de esta otra figura nos dice la integral de aquella primera figura. Aunque esto sólo vale cuando una figura es un rectángulo y la otra es un triángulo rectángulo, y las dos bases son iguales.

Finalmente, aplicando un procedimiento de descomposición en pequeñísimos triángulos rectángulos unas funciones y de descomposición en pequeñísimos rectángulos otras funciones, puede demostrarse que si las ALTURAS de una función significan DERIVADAS de la otra función, entonces las ALTURAS de esta otra función significan ÁREAS de la aquella primera función.

ordend

No es spam: En la entrada hay un fallo que reconozco, analizo e intento explicar y aprovechar para aprender en otra entrada, continuación de la anterior http://cifrasyteclas.com/2013/10/25/la-venganza-del-cunado-para-sumar-velocidades-hay-que-tener-mas-cuidado

LeDYoM

Mi cuñado es físico.

ordend

#23 Sólo contestaba a lo de "tendría que alargar el intervalo".

c

#24 Es que ambas cosas están relacionadas. Si quieres cuantificar qué piloto ha resuelto mejor la curva mediante una integral, el intervalo ha de llegar hasta la siguiente frenada. Los motivos que pueden tener ellos para marcar los intervalos que marcan, podrían ser bien distintos.

c

#24 Amén de que km2/h no me parece una unidad de velocidad. Pero esa es otra historia.

f

Esto se come ?

D

Mucho mas sencillo medir el tiempo que se tarda en pasar la curva completa ¿no? Solamente habria que definir cuando se entra y cuando se sale lol

c

Puestos a calcular, tendría que alargar el intervalo hasta la frenada de la siguiente curva. De otra manera no se tiene en cuenta la velocidad de salida de la curva, que tanto más importante es cuanto más larga es la recta siguiente.

ordend

#21 Si te fijas, el intervalo es el que aparece en los datos reales de la telemetría (no osaría inventármelo yo )

c

#22 Y? Lo único que digo es que las consecuencias de la resolución de una curva llegan hasta la frenada siguiente.

Y las respuestas tipo "es como lo hacen ellos" no son muy propias de un matemático.